ΠΕΙΡΑΜΑ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ 2024

Συντάκτης: Δημήτριος Ζ. Πάνου, Εκπαιδευτικός ΠΕ70

Σήμερα, Τετάρτη 20/3/2024 στο Σχολείο μας οι μαθήτριες και μαθητές της Ε και ΣΤ τάξης είχαν την ευκαιρία να εκτελέσουν ένα ιστορικό και συναρπαστικό συνάμα πείραμα: Το πείραμα του Ερατοσθένη. Πριν παρουσιάσουμε τη δράση αυτή ας δούμε κάποια ιστορικά κι επιστημονικά στοιχεία για το πείραμα αυτό:

Το «πείραμα του Ερατοσθένη» αποτελεί μια ιστορική μέθοδο για τον υπολογισμό της περιφέρειας της Γης, που πραγματοποιήθηκε από τον σπουδαίο μαθηματικό τον 3^ο αι. π.Χ. Μια μέθοδος στην οποία ο Ερατοσθένης χρησιμοποίησε ως μόνα εργαλεία μια ράβδο, «βηματιστές» της εποχής για τη μέτρηση αποστάσεων, βασικές αρχές της τριγωνομετρίας και καθαρή σκέψη.

Για εκπαιδευτικούς λόγους, η μέθοδός του εφαρμόζεται έως και σήμερα από μαθητές, ώστε -χρησιμοποιώντας βασικά στοιχεία τριγωνομετρίας- να υπολογίζουν την περιφέρεια του πλανήτη μας. Οι ισημερίες και τα ηλιοστάσια αποτελούν ιδανικές ημερομηνίες για την πραγματοποίηση του ιστορικού πειράματος του Ερατοσθένη.

Επιστημονικό υπόβαθρο (πριν τον Ερατοσθένη)
Οι Πυθαγόρειοι αστρονόμοι, μαθηματικοί και φιλόσοφοι, κατά τον 6^ο αι. π.Χ., δέχονταν ήδη τη σφαιρικότητα της Γης. Οι Έκφαντος, Ικέτας και Ηρακλείδης ο Ποντικός τη θέτουν να περιστρέφεται γύρω από τον άξονά της σε 24 ώρες. Αποδίδουν δε τη φαινόμενη κίνηση της ουράνιας σφαίρας από Ανατολή σε Δύση στην περιστροφή της Γης. Ο Φιλόλαος ο Πυθαγόρειος αποτελεί ίσως τον πρώτο αστρονόμο που θεώρησε τη Γη ουράνιο σώμα και μάλιστα όχι ακίνητο, αλλά περιφερόμενο γύρω από το Κεντρικό Πυρ. Μεταγενέστερα (3^ος αι. π.Χ.), ο Αρίσταρχος ο Σάμιος θέτει τη Γη, όπως και τους υπόλοιπους πλανήτες, να περιφέρονται γύρω από τον Ήλιο. Ο Αριστοτέλης, στο έργο του «περί Ουρανού» (4^ος αι. π.Χ.), τεκμηριώνει τη σφαιρικότητα της Γης και αναφέρεται στον υπολογισμό της περιφέρειάς της από προγενέστερους μαθηματικούς.

Σφαιρικότητα της Γης
Οι Έλληνες σοφοί της αρχαιότητας διαπιστώνουν τη σφαιρικότητα της Γης βασιζόμενοι σε παρατηρήσεις που σχετίζονται με:

• Το σχήμα της σκιάς που ρίχνει η Γη στη Σελήνη κατά τη διάρκεια μιας ολικής έκλειψης Σελήνης.
• Την αλλαγή της θέσης των αστέρων που βλέπουμε από διαφορετικούς τόπους της Γης την ίδια χρονική στιγμή (ή και τη μεταβολή της θέσης του πολικού αστέρα όσο μετακινούμαστε από νοτιότερες προς βορειότερες περιοχές).
• Την παρατήρηση ενός πλοίου, που καθώς απομακρύνεται στον ορίζοντα από οποιονδήποτε παρατηρητή, χάνεται από την όρασή μας σταδιακά, με το κατάρτι να μένει ως το τελευταίο ορατό του σημείο. Το αντίστροφο συμβαίνει καθώς το πλοίο πλησιάζει τον προορισμό του. Ποιό ήταν όμως το μέγεθός της Γης; Πόσο μεγάλος ήταν ο κόσμος στον οποίον ζούσαν;

Ο Ερατοσθένης (276 – 194 π.Χ)
Η πρώτη ιστορικά τεκμηριωμένη μέτρηση της περιμέτρου της Γης αποδίδεται στον Ερατοσθένη τον Κυρηναίο, τον 3^ο αι. π.Χ, στην Αλεξάνδρεια της Αιγύπτου, καθώς υπολόγισε μια τιμή η οποία παρουσιάζει μικρή απόκλιση συγκρινόμενη με τις σημερινές μετρήσεις.

Ο Ερατοσθένης υπήρξε σπουδαίος αστρονόμος, μαθηματικός, γεωδαίτης και γεωγράφος. Διετέλεσε διευθυντής της ξακουστής βιβλιοθήκης της Αλεξάνδρειας. Η Αλεξάνδρεια, χτισμένη στις εκβολές του Νείλου από τον Μέγα Αλέξανδρο, αποτέλεσε σημαντικό κέντρο παιδείας και επιστήμης από τον 4^ο έως τον 2^ο αι. π.Χ. Η περίφημη βιβλιοθήκη της Αλεξάνδρειας, ως το σημαντικότερο εκδοτικό κέντρο του τότε γνωστού κόσμου, φημιζόταν για τον πλούτο των χειρογράφων της, συγκριτικά με κάθε άλλη γνωστή βιβλιοθήκη, προσελκύοντας πλήθος σοφών και ερευνητών της εποχής.

Η μέθοδος του Ερατοσθένη
Ο Ερατοσθένης είχε παρατηρήσει, ή γνώριζε από παρατηρήσεις άλλων ερευνητών, ότι κατά το θερινό ηλιοστάσιο, ακριβώς το μεσημέρι, ο ήλιος κατοπτρίζονταν ολόκληρος στον πυθμένα ενός πηγαδιού στη Συήνη. Η Συήνη (το σημερινό Ασσουάν) αποτελεί πόλη της αρχαίας Αιγύπτου χτισμένη στη δυτική όχθη του Νείλου, νοτιότερα της Αλεξάνδρειας. Παρατήρησε επίσης, ότι την ίδια μέρα και ώρα δεν συνέβαινε το ίδιο φαινόμενο και στην Αλεξάνδρεια. Επομένως η γωνία πρόσπτωσης των ηλιακών ακτίνων διέφερε στους δύο τόπους για τη δεδομένη χρονική στιγμή.

Υποθέσεις
Ο Ερατοσθένης ξεκίνησε με τις ακόλουθες δύο υποθέσεις: (α) Η Γη είναι σφαίρα και φωτίζεται ομοιόμορφα από τον Ήλιο. (β) Ο Ήλιος είναι τόσο μακριά από τη Γη, ώστε οι ακτίνες του φτάνουν σε αυτήν ουσιαστικά παράλληλες. Στη συνέχεια συνέκρινε, την ίδια χρονική στιγμή, τη διεύθυνση των ηλιακών ακτίνων με τη διεύθυνση της κατακορύφου στις δύο διαφορετικές πόλεις (Συήνη και Αλεξάνδρεια). Πώς μπόρεσε όμως ο Ερατοσθένης να πραγματοποιήσει δύο μετρήσεις σε δύο διαφορετικά σημεία της Γης την ίδια χρονική στιγμή, εφόσον οι αρχαίοι Έλληνες δεν διέθεταν ρολόγια που θα μπορούσαν να συγχρονίσουν;

Το πρόβλημα το έλυσε κάνοντας τις μετρήσεις του κατά τη μεσημβρία (την ώρα δηλαδή που ο ήλιος βρίσκεται στο ψηλότερο σημείο του στον ουρανό) σε δύο πόλεις που βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό, όπου κάθε μεσημβρινός είναι μια γραμμή που ενώνει τον βόρειο με τον νότιο πόλο της Γης. Όσοι τόποι βρίσκονται πάνω στον ίδιο μεσημβρινό, έχουν μεσημέρι την ίδια χρονική στιγμή. Και πράγματι, η Αλεξάνδρεια και η Συήνη βρίσκονται σχεδόν στον ίδιο μεσημβρινό απέχοντας κατά γεωγραφικό μήκος μόλις 3^ο, με βάση σημερινούς υπολογισμούς. Γνωρίζοντας ότι στη Συήνη, κατά τη μεσημβρία του θερινού ηλιοστασίου, ο ήλιος κατοπτρίζονταν ολόκληρος στον πυθμένα ενός πηγαδιού, αυτό σήμαινε ότι εκείνη τη στιγμή ο ήλιος βρισκόταν στην κατακόρυφο του τόπου (στο Ζενίθ του). Την ίδια χρονική στιγμή, τοποθετώντας στο έδαφος της Αλεξάνδρειας μια κατακόρυφη ράβδο, υπολόγισε τη γωνία πρόσπτωσης των ηλιακών ακτίνων με το κατακόρυφο επίπεδο: μέσω της εφαπτομένης της, γνωρίζοντας το μήκος της ράβδου και μετρώντας το μήκος της σκιάς της. Η γωνία υπολογίστηκε σε περίπου 7,2^ο. Η γωνία αυτή αντιστοιχεί ουσιαστικά στη γωνία ανάμεσα στην ακτίνα της Γης που καταλήγει στη Συήνη και την ακτίνα της Γης που καταλήγει στην Αλεξάνδρεια.

Απόσταση Συήνης – Αλεξάνδρειας
Ένα δεύτερο στοιχείο που χρειάστηκε για να προχωρήσει στον υπολογισμό της περιφέρειας της Γης ήταν η απόσταση μεταξύ των δύο πόλεων. Πώς υπολόγισε ο Ερατοσθένης αυτήν την απόσταση; Κάποιοι μελετητές ισχυρίζονται ότι την υπολόγισε με βάση τη σταθερή ταχύτητα με την οποία ταξίδευαν τα καραβάνια -100 στάδια την ημέρα- επί 50 ημέρες, δηλαδή 5.000 στάδια συνολικά ή 820 km (1 αττικό στάδιο = 164 m.) Από άλλες πηγές, αυτή η απόσταση προκύπτει από αιγυπτιακούς τοπογραφικούς χάρτες, όπου οι μετρήσεις είχαν γίνει από επαγγελματίες «βηματιστές», οι οποίοι περπατώντας με σταθερούς διασκελισμούς κατέγραφαν αποστάσεις.

Τελικός υπολογισμός
Εφόσον σε γωνία 7,2^ο αντιστοιχεί απόσταση 5.000 σταδίων στην περιφέρεια της Γης, ο Ερατοσθένης συμπέρανε ότι στις 360^ο αντιστοιχεί απόσταση 250.000 σταδίων, που ισοδυναμεί σε 40.000 km, που είναι και η περιφέρεια του πλανήτη μας. Το λάθος στον υπολογισμό ήταν μόνο 2%: ένα πραγματικά αξιοσημείωτο επίτευγμα, δεδομένου ότι οι υπολογισμοί πραγματοποιήθηκαν πριν από περίπου 2,5 χιλιάδες χρόνια. Ο Ερατοσθένης, ως ο πρώτος άνθρωπος που μέτρησε τις διαστάσεις του πλανήτη μας, θεωρείται και ο πατέρας της μαθηματικής γεωγραφίας. (στοιχεία από το Εθνικό Αστεροσκοπείο Αθηνών).

Σήμερα, 20 Μαρτίου 2024, έχουμε την Εαρινή Ισημερία, οπότε ήταν μια ιδανική ημέρα για την εκτέλεση του πειράματος.

Με τις μαθήτριες και τους μαθητές μας κάναμε από χθες 19/3/2024 μια προεργασία, υπολογίζοντας στις τάξεις τις γεωγραφικές συντεταγμένες του Σχολείου μας και την ακριβή απόστασή του από τον Ισημερινό (το σημείο πάνω στον Ισημερινό που έχει το ίδιο γεωγραφικό μήκος με το Σχολείο μας) χρησιμοποιώντας το κατάλληλο λογισμικό (https://www.daftlogic.com/projects-google-maps-distance-calculator.htm). Στη συνέχεια με το λογισμικό suncalc (http://suncalc.net/) υπολογίσαμε την ακριβή ώρα που θα έπρεπε να κάνουμε τη μέτρησή μας ώστε να είναι το αποτέλεσμα που θα βρούμε πιο κοντά στην πραγματική περιφέρεια κι ακτίνα της Γης.

Γεωγραφικό πλάτος Σχολείου: 40,9395

Γεωγραφικό μήκος Σχολείου: 24,4185

Απόσταση από τον Ισημερινό (κατακόρυφη προβολή 4.552,3 χιλιόμετρα)

Ακριβής ώρα πραγματοποίησης του πειράματος : 20/3/2024, 12.31 μ.μ.

Προμηθευτήκαμε λοιπόν 4 ξύλινες ράβδους μήκους 1 μέτρου η καθεμία (μία για κάθε τμήμα) που ευγενικά  τις έκοψε και τις προσέφερε ο επιπλοποιός κ. Νικόλαος Τσιατάκης (τον ευχαριστούμε θερμά! )

Ετοιμάσαμε τα σημειωματάριά μας, τις μετροταινίες μας και περιμέναμε την κατάλληλη ώρα. Ο καιρός δεν ήταν σύμμαχός μας μια που ο ήλιος έπαιζε περίεργα παιχνίδια και δεν εμφανιζόταν στον ουρανό μα κρυβόταν πίσω από τα σύννεφα… ευτυχώς τη στιγμή που ήταν να εκτελεστούν οι κατάλληλες μετρήσεις βγήκε λαμπρός και τελικά μπορέσαμε να μετρήσουμε τη σκιά που έριχνε η κάθε ράβδος στο έδαφος. Για λόγους επιστημονικής εγκυρότητας πήραμε πολλές φορές τη μέτρηση και όλες οι μετρήσεις μας συμφωνούσαν: 86 εκατοστά. Είχαμε πλέον και το τελευταίο στοιχείο που μας έλειπε για να υπολογίσουμε την περιφέρεια και την ακτίνα της Γης. Περάσαμε στη συνέχεια στις αίθουσες και πιάσαμε δουλειά: Υπολογίσαμε τη γωνία που σχηματίστηκε ανάμεσα στην κάθετη πλευρά του νοητού ορθογώνιου τριγώνου (ξύλινη ράβδος) και την υποτείνουσά του και βρήκαμε πως αυτή ήταν 41 μοίρες.

Ισχύει ότι Απόσταση Από τον Ισημερινό/γωνία= Περιφέρεια/360, άρα 4.552,3/41= Περιφέρεια /360 και από τη σχέση αυτή προκύπτει Περιφέρεια= 4.552,3Χ360/41= 39.971,4 χιλιόμετρα. 

Το πραγματικό μήκος της Περιφέρειας της Γης είναι 40.075 χιλιόμετρα, άρα το σφάλμα στον υπολογισμό μας ήταν 40.075-39.971,4=103,6 χιλιόμετρα, καταφέραμε δηλαδή να μετρήσουμε με πολύ μεγάλη ακρίβεια την περιφέρεια της Γης (ο Ερατοσθένης την είχε υπολογίσει σε 39.690 χμ)

Τελευταίος υπολογισμός ήταν αυτός της ακτίνας της Γης με βάση τον τύπο Ακτίνα= Περιφέρεια/2π (όπου π ο αριθμός 3,14), άρα Ακτίνα = 39.971,4/2Χ3,14 = 6.364,87 χιλιόμετρα (το πραγματικό μήκος της ακτίνας της Γης είναι 6.371 χιλιόμετρα , άρα το σφάλμα στον υπολογισμό μας ήταν 6.371-6.364.87= 6,13  χιλιόμετρα.

Θερμά συγχαρητήρια σε όλα τα παιδιά!!! Νιώθουμε πραγματικά πολύ υπερήφανοι για όσα τα βλέπουμε να καταφέρνουν καθημερινά!